Matematica

Fecha de entrega 1 de diciembre del 2008.

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La Teoría Informal de Conjuntos es una de las diversas teorías que se han sido desarrolladas en torno al debate de los fundamentos de matemáticas.

Los conjuntos tienen una importancia fundamental en matemáticas; de hecho, de manera formal, la mecánica interna de las matemáticas (números, relaciones, funciones, etc.) puede definirse en términos de conjuntos.

Requisitos [editar]

La teoría informal de conjuntos es una teoría “no formalizada”, es decir que emplea el lenguaje cotidiano para hablar de conjuntos. Por lo que, los conectores « y »; « o »; « no »; « si..., entonces »; « si y sólo si », no están sujetos a rigurosas definiciones.

En sus primeros tiempos, la teoría de conjuntos era informal y fue desarrollada a fines del siglo XIX, principalmente por Georg Cantor y Gottlob Frege, con el fin de permitir a los matemáticos trabajar con conjuntos infinitos coherentes.

Sin embargo, esta primigenia teoría permitía definir un conjunto a partir de cualquier propiedad sin ninguna restricción, lo que llevó a antinomias, o paradojas lógicas, como la paradoja de Russell, o semánticas, como la paradoja de Berry. Como solución a este conflicto se elaboró la teoría axiomática de conjuntos, cuyo propósito era determinar con precisión qué definiciones de conjuntos podían ser empleadas. Actualmente, se conoce a la teoría axiomática de conjuntos simplemente como teoría de conjuntos.

Conjuntos, pertenencia e igualdad [editar]

En la teoría informal de conjuntos, un conjunto es descrito como una colección de objetos bien definida. Dichos objetos son llamados elementos o miembros del conjunto y pueden ser de cualquier naturaleza: números, personas, otros conjuntos, etc. Por ejemplo, el 4 es un elemento del conjunto de todos los números enteros. Obviamente, el conjunto de todos los números es infinitamente grande; sin embargo, no es necesario que un conjunto sea precisamente finito para que pueda ser definido con precisión.

Si x es elemento de A, entonces se dice que x pertenece a A, o que x está en A. En este caso, esta proposición se escribe o representa formalmente así: x ∈ A.^[1] Mientras que usar el símbolo ∉ de esta manera: x ∉ A, quiere decir que x no pertenece a A.

Dos cojuntos A y B son iguales cuando tienen exactamente los mismos elementos o, en otras palabras, lo son solo si cada uno de los elementos de A es a la vez elemento de B y si cada elemento de B también pertenece o está incluido en A.^[2] Por ejemplo, el conjunto cuyos elementos son 2, 3 y 5 es igual al conjunto de todos los números primos menores de 6. Y si los conjuntos A y B son iguales, esto se representa comúnmente como A = B.

Los elementos de un conjunto determinan a éste en su totalidad y esto también es válido para un conjunto vacío, que es aquel que no tiene ningún elemento, el cual se representa a menudo así "Ø" y otras veces así "{ }". Por lo que partiendo del hecho de que incluso un conjunto vacío está completemente determinado por sus elementos, se concluye que sólo puede haber un conjunto vacío.

Elemento neutro, de una operación, en un conjunto , es un elemento que operado con cualquier otro elemento a de , no lo altera, es decir:

Si la operación es la suma, el elemento neutro es el 0. Cuando la operación es la multiplicación, el elemento neutro es el 1.

En Álgebra Moderna, si tenemos conjunto X en el que se ha definido una operación interna para la que existe elemento neutro e, se dice que un elemento posee:

1. elemento simétrico por la izquierda respecto de la operación si existe un elemento de manera que ,
2. elemento simétrico por la derecha respecto de la operación si existe un elemento de manera que ,
3. elemento simétrico respecto de la operación si existe un elemento de manera que .

Un elemento simétrico de x es simétrico por la derecha del elemento x y simétrico por la izquierda del elemento x.

Notaciones aditiva y multiplicativa [editar]

Cuando la operación se denota por "+" (más), se denomina suma o adición. En ese caso, al elemento neutro se le denomina cero y se le denota por "0", y al elemento simétrico de x se le denomina elemento opuesto de x y se le denota por − x.

Cuando la operación se denota por "·" (por), se denomina producto o multiplicación. En ese caso, al elemento neutro se le denomina uno o unidad y se le denota por "1", y al elemento simétrico de x se le denomina elemento inverso de x y se le denota por x ^{− 1} o por

Una operación binaria es conmutativa cuando el resultado de la operación es el mismo cualquiera que sea el orden de los elementos con los que se opera.

Definición algebraica [editar]

Sea E un conjunto en el cual se ha definido una operación binaria o ley de composición interna *, es decir una aplicación:

Este diagrama ilustra la conmutatividad: p es la permutación de las variables x e y. Da el mismo resultado recorrer la flecha horizontal, es decir aplicar la operación * que recorrer la flecha vertical (permutar las variables) y luego la diagonal (aplicar * ).

Estos diagramas, donde el resultado no depende del trayecto sino sólo del punto de partida y el de llegada se llaman diagramas conmutativos (sí, con la misma palabra). Se suele indicar esta propiedad con un círculo inscrito en el "ciclo".

Por convención, si una operación se escribe con el símbolo +, siempre se supone que es conmutativa. Esta convención no es válida para el producto × ni · pues, por ejemplo, el producto de matrices no es conmutativo en dimensión superior a 1, ni el de los números cuaterniones. El producto vectorial tampoco es conmutativo.

Ejemplos [editar]

• En el conjunto C de los números complejos, y por restricción, en el conjunto R de los números reales, la suma (adición) y el producto (multiplicación) son operaciones conmutativas.
• La suma en los espacios vectoriales es conmutativa.
• La suma de funciones también.
• La reunión y la intersección en la teoría de conjuntos y más generalmente la suma y el producto de las álgebras de Boole.

La propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma es aquella por la que la suma de dos o más números, multiplicada por otro número, es igual a la suma del producto de cada número con éste último. Por ejemplo:

Esta propiedad, particularizada para la suma y el producto, se puede generalizar a cualquier otro par de operaciones aritméticas, obteniendo de esta forma la definición de la propiedad distributiva.

Sea G un conjunto en el cual se ha definido una operación binaria interna *, es decir una aplicación:

G×G → G

(x,y) → x*y

Se dice que * es asociativa si verifica para todo (x,y,z) de G³ la igualdad x*(y*z) = (x*y)*z, donde los paréntesis indican que hay que hacer la operación interna antes de hacer la operación externa.

Ejemplos fundamentales: En el conjunto C de los números complejos y, por restricción, en el conjunto R de los números reales la suma (adición) y el producto (multiplicación) son operaciones asociativas.

Un ejemplo más sencillo de la ley asociativa sería: 100-100-10=-10 que sería igual a (100-100)-10 = - 10 pero 100-(100-10)=100-90 lo que sería =10 pero positivo otro ejemplo 100-20-10= 70 o (100-20)-10= 70 pero 100-(20-10)=100-10= 90 Es decir, cuando hay un primer paréntesis se omite

Otro tipo de ejemplo es: 100/2+20, por regla primero se hacen las operaciones de multiplicación y división y después la de suma o resta, lo que sería igual a poner(100/2)+20=70 Lo que sería diferente si 100/(2+20)= 100/22 = 4.54